Логика

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные в 4 веке до нашей эры древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы речи от ее содержания. Он исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.

Логика - наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств.

Основными формами абстрактного мышления являются:

понятия - отражают наиболее существенные свойства предмета, выражаются словами;

высказывания (суждения) - что-либо утверждают или отрицают;

умозаключения - на основе суждений делается суждение-вывод.

Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии. В дедуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от общего к частному. Например, из двух суждений: ŤВсе металлы электропроводныť и ŤРтуть является металломť путем умозаключения можно сделать вывод, что: ŤРтуть электропроводнаť. Значит: Дедукция - это рассуждения от общего к частному.

В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от частного к общему. Например, установив, что отдельные металлы - железо, медь, цинк, алюминий и т.д. - обладают свойством электропроводности, можно сделать вывод, что все металлы электропроводны. Значит: Индукция - это рассуждения от частного общему .

Умозаключение по аналогии представляет собой движение мысли от общности одних свойств и отношений у сравниваемых предметов или процессов к общности других свойств и отношений. Например, химический состав Солнца и Земли сходен по многим показателям, поэтому, когда на Солнце обнаружили неизвестный еще на Земле химический элемент гелий, то по аналогии заключили: такой элемент есть и на Земле.

Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется, и может быть представлено в форме множества объектов, состоящего из элементов множества. Алгебра множеств, одна из основополагающих современных математических теорий, позволяет исследовать отношения между множествами и, соответственно, объемами понятий.

Между множествами (объемами понятий) могут быть различные виды отношений:

ˇ равнозначность, когда объемы понятий полностью совпадают;

ˇ пересечение, когда объемы понятий частично совпадают;

ˇ подчинения, когда объем одного понятия полностью входит в объем другого и т.д.

Для наглядной геометрической иллюстрации объемов понятий и соотношений между ними используются диаграммы Эйлера-Венна. Если имеются какие-либо понятия A, B, C и т.д., то объем каждого понятия (множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими объемами (множествами) в виде пересекающихся кругов.

Пример 1. Отобразить с помощью диаграммы Эйлера-Венна соотношение между объемами понятий натуральные числа и четные числа. Объем понятия натуральные числа включает в себя множество целых положительных чисел А, а объем понятия четные числа включает в себя множество отрицательных и положительных четных чисел В. Эти множества пересекаются, т.к. включают в себя множество положительных четных чисел С.

Совокупность всех существующих множеств образует всеобщее универсальное множество 1, которое позволяет отобразить множество логически противоположное к заданному. Так, если задано множество А, то существует множество НЕ А, которое объединяет все объекты, невходящие во множество А. Множество НЕ А дополняет множество А до универсального множества 1.

Пример 2. Отобразить с помощью диаграммы Эйлера-Венна множество натуральных чисел А и множество НЕ А. На диаграммы Эйлера-Венна универсальное множество 1 изображается в виде прямоугольника, множество А в форме круга, а множество НЕ А в форме прямоугольник минус круг.

Алгебра высказываний

Алгебра в широком смысле этого слова наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и т.д.). Объектами алгебры логики являются высказывания. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт истинно или ложно данное высказывание. Алгебра высказываний служит для определения истинности или ложности составных высказываний, не вникая в их содержание. Высказывания обозначаются именами логических переменных (латинские буквы), которые могут принимать лишь два значения Ťистинаť 1 и Ťложьť 0.

Пример. А = {Аристотель - основоположник логики} А = 1

B = {На яблонях растут бананы} В = 0

Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным). Над высказываниями можно производить определенные логические операции с помощью основных логических связок И - ИЛИ - НЕ

Основные операции алгебры логики.

Логическое умножение - КОНЪЮНКЦИЯ И & AND ( это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны).

Логическое сложение - ДИЗЪЮНКЦИЯ ИЛИ V OR (это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно).

Логическое отрицание - ИНВЕРСИЯ НЕ А NOT (это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается).

Таблицы истинности для функций

И ИЛИ НЕ

А	В	А&В	А	В	АÚВ	А	*не А*
0	0	0	0	0	0	0	1
0	1	0	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1

Пример 1. Определите истинность составного высказывания: (неА&неВ) & (C Ú D), состоящего из простых высказываний:

А = {Принтер устройство вывода информации},

В = {Процессор устройство хранения информации},

С = {Монитор устройство вывода информации},

D = {Клавиатура устройство обработки информации}.

Сначала на основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.

Определим теперь истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:

(не1 & не0) & (1 V 0) = (0 & 1) & (1 V 0) = 0

Составное высказывание ложно.

Пример 2. Какие из высказываний А, В, С должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложно логическое выражение ((A Ú В) & В) Ţ С.

Импликация ложна на единственном наборе логических значений (1, 0). Значит, ((A Ú В)&В) = 1, С = 0.

Конъюнкция истинна на единственном наборе логических значений (1, 1). Значит, (A Ú В) = 1 и В = 1.

Дизъюнкции истинна при наборах логических значений (0, 1) и (1, 1).

Следовательно, существуют два набора логических значений, удовлетворяющих условию задачи:

(А = 0, В = 1, С = 0) и (А = 1, В = 1, С = 0).

Задания

1. Найдите значения логических выражений:

а) (1Ú1)Ú(1Ú0);

б) ((1Ú0)Ú1)Ú1;

в) (0Ú1)Ú(1Ú0);

г) (0&1)&1;

д) 1&(1&1)&1;

е) ((1Ú0)&(1&1))&(0Ú1);

ж) ((1&0)Ú(1&0))Ú1;

з) ((1&1)Ú0)&(0Ú1);

и) ((0&0)Ú0)&(не1Ú1).

2. Даны два простых высказывания:

А = {2 ´ 2 = 4}, В = {2 ´ 2 = 5}.

Какие из составных высказываний истинны:

а) неА; б) неВ;

в) A & B; г) A V B;

д) A Ţ B; е) A Ű B

3. Даны простые высказывания:

А = {5>3}, В = {2=3} и С = {4<2}.

Определите истинность составных высказываний:

а) (A Ú B) & C Ţ (A&C) Ú (B&C);

б) (A&B) Ú C Ű (A Ú C) & (A & B).

4. Даны простые высказывания:

А = {Принтер устройство ввода информации},

В = {Процессор устройство обработки информации},

С = {Монитор устройство хранения информации},

D = {Клавиатура устройство ввода информации}.

Определите истинность составных высказываний:

а) (А&В) & (C Ú D); б) (А&В) Ţ (C Ú D);

в) (A V B) Ű (C & D); г) (неА Ű неВ)

Наверх